Калькулятор треугольника: площадь, периметр, углы и высоты
Площадь по трём сторонам — формула Герона. Половина периметра p = (a + b + c) / 2, затем S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)). Для сторон 3, 4, 5 это p = 6 и S = √(6·3·2·1) = 6. Высота в формуле не нужна, поэтому трёх сторон достаточно.
Если известно другое: основание и высота — S = a·h / 2; две стороны и угол между ними — S = ½·a·b·sin γ; катеты прямоугольного треугольника — S = a·b / 2. Остальные пять случаев — в таблице формул ↓.
Сумма углов — всегда 180° · Треугольник существует, только если сумма любых двух сторон больше третьей · пошаговый разбор ↓ · готовые значения ↓ · пифагоровы тройки ↓
Введите длины трёх сторон:
Введите длины трёх сторон любого треугольника и мгновенно получите площадь (формула Герона), периметр, все три внутренних угла в градусах, высоты из каждой вершины и классификацию треугольника — по виду сторон (равносторонний, равнобедренный или разносторонний) и по углам (прямоугольный, остроугольный или тупоугольный). Если известны не три стороны, а основание с высотой или две стороны с углом, возьмите готовую формулу из таблицы ниже.
Все формулы площади треугольника
Формула площади зависит только от того, какие данные у вас уже есть. Калькулятор выше считает первый случай — три стороны. Для остальных возьмите формулу из таблицы; синус угла удобно посчитать в научном калькуляторе.
| Что известно | Формула | Пример |
|---|---|---|
| Три стороны a, b, c формула Герона | p = (a + b + c) / 2, S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) | a = 3, b = 4, c = 5 → p = 6, S = 6 |
| Основание и высота к нему школьная формула | S = a · h / 2 | a = 10, h = 4 → S = 20 |
| Две стороны и угол между ними через синус | S = ½ · a · b · sin γ | a = 6, b = 8, γ = 30° → S = 12 |
| Два катета прямоугольного треугольника угол между катетами 90°, sin 90° = 1 | S = a · b / 2 | катеты 3 и 4 → S = 6 |
| Сторона равностороннего треугольника все углы по 60° | S = a² · √3 / 4 | a = 6 → S ≈ 15,59 |
| Полупериметр и радиус вписанной окружности отсюда же r = S / p | S = p · r | p = 6, r = 1 → S = 6 |
| Три стороны и радиус описанной окружности отсюда же R = abc / 4S | S = a · b · c / (4R) | 3, 4, 5 при R = 2,5 → S = 6 |
| Координаты трёх вершин формула площади через определитель | S = ½ · |x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)| | (0;0), (4;0), (0;3) → S = 6 |
Пошаговый разбор: треугольник 7, 8, 9
Разносторонний треугольник без «круглых» ответов — ровно тот случай, где чаще всего теряют знак в теореме косинусов. Все числа ниже получены тем же движком, что стоит в калькуляторе выше, при сборке страницы.
- Проверяем, что треугольник существует. 7 + 8 = 15 > 9, 7 + 9 = 16 > 8, 8 + 9 = 17 > 7. Неравенство треугольника выполнено.
- Полупериметр. p = (7 + 8 + 9) / 2 = 12, периметр — 24.
- Площадь по Герону. S = √(12 · 5 · 4 · 3) = √720 ≈ 26,83
- Углы по теореме косинусов. cos A = (8² + 9² − 7²) / (2·8·9) = 96 / 144 ≈ 0,667 → A ≈ 48,19° ; аналогично B ≈ 58,41°, а третий угол короче взять как 180° − A − B ≈ 73,4°. Проверка: сумма даёт 180°.
- Высоты. h = 2S / a, то есть к стороне 7 высота ≈ 7,67. Самая большая высота всегда у самой короткой стороны.
- Тип. Все стороны разные → разносторонний. Наибольший угол 73,4° меньше 90° → остроугольный.
Для сравнения, «школьный» треугольник 3, 4, 5 даёт ровные числа: площадь 6, периметр 12, углы 36,87°, 53,13° и 90° — прямоугольный.
Таблица готовых треугольников
Наборы сторон, которые вводят чаще всего — с площадью, периметром, всеми углами и типом. Удобно, чтобы сверить свой ответ или проверить домашнее задание, не считая заново.
| Стороны | Площадь | Периметр | Углы | Тип |
|---|---|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 6 | 12 | 36,87° · 53,13° · 90° | разносторонний, прямоугольный |
| 5, 12, 13 | 30 | 30 | 22,62° · 67,38° · 90° | разносторонний, прямоугольный |
| 6, 8, 10 | 24 | 24 | 36,87° · 53,13° · 90° | разносторонний, прямоугольный |
| 8, 15, 17 | 60 | 40 | 28,07° · 61,93° · 90° | разносторонний, прямоугольный |
| 7, 24, 25 | 84 | 56 | 16,26° · 73,74° · 90° | разносторонний, прямоугольный |
| 6, 6, 6 | 15,59 | 18 | 60° · 60° · 60° | равносторонний, остроугольный |
| 10, 10, 10 | 43,3 | 30 | 60° · 60° · 60° | равносторонний, остроугольный |
| 5, 5, 6 | 12 | 16 | 53,13° · 53,13° · 73,74° | равнобедренный, остроугольный |
| 5, 5, 8 | 12 | 18 | 36,87° · 36,87° · 106,26° | равнобедренный, тупоугольный |
| 13, 13, 10 | 60 | 36 | 67,38° · 67,38° · 45,24° | равнобедренный, остроугольный |
| 7, 8, 9 | 26,83 | 24 | 48,19° · 58,41° · 73,4° | разносторонний, остроугольный |
| 4, 5, 6 | 9,92 | 15 | 41,41° · 55,77° · 82,82° | разносторонний, остроугольный |
| 10, 12, 15 | 59,81 | 37 | 41,65° · 52,89° · 85,46° | разносторонний, остроугольный |
| 2, 3, 4 | 2,9 | 9 | 28,96° · 46,57° · 104,48° | разносторонний, тупоугольный |
| 3, 5, 7 | 6,5 | 15 | 21,79° · 38,21° · 120° | разносторонний, тупоугольный |
| 2, 5, 6 | 4,68 | 13 | 18,19° · 51,32° · 110,49° | разносторонний, тупоугольный |
Пифагоровы тройки: когда угол ровно 90°
Если a² + b² = c², угол против самой длинной стороны равен ровно 90°. Таких целочисленных наборов бесконечно много, но на практике хватает первых восьми. Правило 3-4-5 — именно поэтому строители проверяют прямой угол рулеткой, без угольника: отмерили 3 и 4 по стенам, диагональ вышла 5 — угол прямой.
| Катеты | Гипотенуза | Проверка a² + b² | Площадь |
|---|---|---|---|
| 3, 4 | 5 | 9 + 16 = 25 | 6 |
| 5, 12 | 13 | 25 + 144 = 169 | 30 |
| 8, 15 | 17 | 64 + 225 = 289 | 60 |
| 7, 24 | 25 | 49 + 576 = 625 | 84 |
| 20, 21 | 29 | 400 + 441 = 841 | 210 |
| 12, 35 | 37 | 144 + 1225 = 1369 | 210 |
| 9, 40 | 41 | 81 + 1600 = 1681 | 180 |
| 11, 60 | 61 | 121 + 3600 = 3721 | 330 |
Когда треугольника не существует
Сумма любых двух сторон должна быть строго больше третьей. Равенство тоже не проходит: три точки просто лежат на одной прямой, площадь равна нулю. На таких данных калькулятор выше показывает ошибку, а не ноль — это проверка условия задачи, а не сбой.
| Стороны | Почему не существует |
|---|---|
| 1, 2, 10 | 1 + 2 = 3, а это меньше 10 |
| 2, 3, 5 | 2 + 3 = 5, а нужно строго больше 5 |
| 4, 4, 9 | 4 + 4 = 8, а это меньше 9 |
| 1, 1, 3 | 1 + 1 = 2, а это меньше 3 |
Как это работает
- 1 Введите длины трёх сторон Введите длины сторон a, b и c в поля ввода. Подходят любые положительные числа — целые, дробные или измерения в любых согласованных единицах.
- 2 Нажмите «Вычислить» Нажмите кнопку «Вычислить» (или Enter) для вычисления всех свойств треугольника. Недопустимые комбинации сторон (нарушение неравенства треугольника) покажут понятное сообщение об ошибке.
- 3 Читайте результаты Результаты включают площадь, периметр, все три внутренних угла в градусах, высоты из каждой вершины и тип треугольника по классификации как сторон, так и углов.
Ваши данные защищены
Всё обрабатывается прямо в вашем браузере. Никакие файлы или текст не отправляются на наши серверы. Отключите интернет — инструмент продолжит работать.
Часто задаваемые вопросы
- Как найти площадь треугольника по трём сторонам?
- По формуле Герона: сначала полупериметр p = (a+b+c)/2, затем S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)). Для сторон 3, 4, 5 это p = 6 и S = √(6·3·2·1) = √36 = 6. Высоту знать не нужно — именно это считает калькулятор выше.
- Как найти площадь треугольника, если известны две стороны и угол между ними?
- S = ½ · a · b · sin γ, где γ — угол именно между сторонами a и b. Например, a = 6, b = 8, γ = 30°: S = ½ · 6 · 8 · 0,5 = 12. Если угол лежит не между этими сторонами, сначала найдите третью сторону по теореме косинусов, а затем считайте по Герону.
- Как найти площадь треугольника по основанию и высоте?
- S = a · h / 2, где a — основание, а h — высота, опущенная на это основание. Основанием можно считать любую сторону: произведение стороны на высоту к ней одинаково для всех трёх пар, поэтому площадь получится та же.
- Как найти площадь прямоугольного треугольника?
- Катеты сами служат основанием и высотой друг для друга, поэтому S = a · b / 2, где a и b — катеты. Гипотенуза в формуле не участвует. Треугольник с катетами 3 и 4 имеет площадь 6 независимо от того, что гипотенуза равна 5.
- Как найти площадь равностороннего треугольника?
- S = a² · √3 / 4. При стороне 6 получается 36 · 1,732 / 4 ≈ 15,59. Все углы равностороннего треугольника равны 60°, а высота равна a · √3 / 2 ≈ 5,2 при a = 6.
- Как найти площадь равнобедренного треугольника?
- Подойдёт та же формула Герона — просто две стороны равны. Если известны боковая сторона b и основание a, высота к основанию равна √(b² − a²/4), а площадь S = a · √(b² − a²/4) / 2. Для сторон 5, 5 и основания 6 высота равна 4, а площадь — 12.
- Как вычисляются углы треугольника по трём сторонам?
- По теореме косинусов: cos(A) = (b²+c²−a²) / (2bc), аналогично для остальных углов. Третий угол можно получить короче — 180° минус сумма первых двух, потому что сумма внутренних углов любого треугольника равна ровно 180°.
- Как узнать, прямоугольный ли треугольник?
- Проверьте теорему Пифагора на наибольшей стороне: если a² + b² = c², угол против c равен 90°. Для 5, 12, 13 это 25 + 144 = 169 — треугольник прямоугольный. Если a² + b² больше c², треугольник остроугольный, если меньше — тупоугольный.
- Что такое неравенство треугольника?
- Для существования треугольника необходимо, чтобы сумма любых двух сторон была строго больше третьей. Стороны 1, 2 и 10 этому не удовлетворяют, и калькулятор покажет ошибку. Пограничный случай 2, 3, 5 тоже не проходит: 2 + 3 = 5, а нужно строго больше.
- Как найти высоту треугольника, зная три стороны?
- Сначала площадь по Герону, затем h = 2S / a для высоты к стороне a. Калькулятор показывает все три высоты сразу: к каждой стороне своя. Самая длинная высота всегда опущена на самую короткую сторону.
- Чему равна сумма углов треугольника?
- Ровно 180° для любого треугольника на плоскости. Поэтому в равностороннем каждый угол равен 60°, а в прямоугольном два острых угла в сумме дают 90°. Если ваши три угла не дают 180°, где-то ошибка в вычислениях.
- Работает ли калькулятор с дробными значениями сторон?
- Да. Вы можете вводить любое положительное десятичное число для каждой стороны — например, 3.5, 7.14 или 0.001. Калькулятор работает в любых согласованных единицах (сантиметры, метры, дюймы и т.д.) — площадь получится в квадратах той же единицы.